מעגלים מתמטים

תכונת הקמירות הופיעה כבר בימי קדם (בכתביהם של אריסטו, ארכימדס), אבל נחקרה לעומק רק בתקופה המודרנית (100-150 השנים האחרונות).
בהרצאה זו נתאר נקודות מפתח בהתפתחות הידע על גופים קמורים (למשל משפט מינקובסקי, אי שווין ברון-מינקובסקי), ונדון בקשר לגיאומטריה ואנליזה (לדוגמא, האי שוויון האיזופרימטרי). כמו כן תראו כמה התנהגויות מפתיעות של גופים קמורים במימד גבוה.

הרקע הנדרש להרצאה מוכל בקורסי הבסיס של התואר הראשון.
סטודנטים שמחפשים הנחיה או מתעניינים בתחום מוזמנים במיוחד!

*

*

*

*

סטודנטים למתמטיקה פיזיקה והנדסה(וגם למקצועות אחרים) מקדישים זמן רב ללימוד טורי פורייה וטרנספורם פורייה והישומים שלהם.

אנליזת פורייה (הנקראת גם "אנליזה הרמונית") תוארה מחד ככלי החזק ביותר בארגז הכלים של המתמטיקה האנליטית, ומאידך כדרכו של הטבע לנתח נתונים: העיניים והאוזניים שלנו מחשבות טרנספורם פורייה הרבה לפני שאנו לומדים על כך באוניברסיטה.

בניגוד להמלצה של מדענים שאמרו ששום מידה של הסברים לא יכולה להסביר כראוי את החשיבות של טרנספורם פורייה, אני אנסה בהרצאה להסביר מהו הדבר הזה מבחינה מתמטית ולהצביע על מקצת השימושים המגוונים שלו.

הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, שקטן או שווה לממוצע החשבוני.

בהרצאה זו נוכיח טענה זו, ונראה כיצד השימוש בה מהווה שיטה מרכזית בעולם המתמטיקה.

בעזרת אי שיוויון הממוצעים נפתור שאלות גיאומטריות, נגדיר את המספר e, נוכיח את כלל המנה ונוכיח את אי-שיוויון ברנולי ואי-שיוויון קושי-שוורץ.

הקמפוסים של אוניברסיטת ג'יין בהודו (Jain University) פרושים בכל רחבי בנגלור רבתי. האוניברסיטה הציעה לסטודנטים ולחברי הסגל שירות הסעות בין המחלקות, כיתות הלימוד והמעונות בעזרת עשרה אוטובוסים. מסלולי האוטובוסים נקבעו על ידי אנשי האוניברסיטה והנהגים באופן ידני. בסקר שנערך ב 2010 בין משתמשי השירות עלתה תמונה של חוסר שביעות רצון מזמני ההמתנה, אורך הנסיעות וזמינות האוטובוסים. בעקבות הסקר תוכננו מסלולי ההסעות מחדש ע"י חבר סגל מהמחלקה להנדסה בשיתוף עם שני מתמטיקאים. לאחר השינוי נדרשו רק שבעה אוטובוסים, זמני ההמתנה התארכו מעט אך זמני הנסיעה התקצרו משמעותית ושביעות רצון הנוסעים עלתה. איך יתכן שהתכנון המקורי היה רחוק כל כך מתכנון מיטבי?

למעשה מדובר בבעיית פירוק של גרף למעגלים תחת אילוצים והיא הכללה של בעיית הסוכן הנוסע. בעיות תכנון מסוג זה ידועות כקשות במיוחד ועם זאת הן שימושיות ביותר. האסטרטגיות לפתרון כוללות מרכיבים מהסתברות, קומבינטוריקה, גיאומטריה, אופטימיזציה ועוד.

חבורת בראוור, המתארת את האלגברות הפשוטות מעל שדה, היא אובייקט מרכזי באלגברה, אריתמטיקה וגאומטריה. בהרצאה נפתח את הכלים הנחוצים להגדרת האובייקט הזה, ונלמד להכיר אותו בכמה מקרים מיוחדים.

מערכות מספרים הן בין הישויות המתמטיות הבסיסיות ביותר: המספרים הטבעיים, השלמים, הרציונליים, הממשיים, המרוכבים. נסקור את ההתפתחות של המערכות האלה ואת המאפיינים הייחודיים שלהן, ונראה איך מערכות מוכרות פחות, כגון הקווטרניונים והאוקטוניונים, משתלבות בסיפור.

כמה אנשים דרושים כדי להחליף נורה?

התשובה הרצינית אומרת שדרושים עשרות אלפים. החל מהמוכר בחנות מוצרי החשמל, דרך נהגת המשאית שהובילה את המנורות, יצרני הזכוכית, חרשי המתכת, כורי הנחושת...

אם כן, החלפת מנורה, הזמנת כוס בירה, גלישה באינטרנט - כמעט כל פעולה שאנו עושים - היא תוצאה של שיתוף פעולה של המוני בני אדם. 

אך כמה מאיתנו באמת מרגישים חלק משיתוף פעולה המוני וחוצה יבשות שכזה? מי מנהיג את שיתוף הפעולה הזה? הרי בלעדיו - לא היו לנו מנורות להחליף. או בירה.

למעשה, שיתופי פעולה שכאלה נפוצים למדי בטבע: גנים פועלים בתיאום כדי לקיים את פעולות החיים של התא, מחשבים וראוטרים באינטרנט משתפים פעולה כדי לאפשר 

לאימיילים להגיע ליעדם, ובעלי חיים מקיימים קשרי גומלין שמאפשרים למערכת האקולוגית לתפקד.

המשותף לכל המערכות האלו הוא שהן מורכבות מאבני בניין פשוטות - גנים, ראוטרים, נויירונים - המתחברות יחד לכדי התנהגות מורכבת - תא חי, אינטרנט, מוח. 

כל המערכות הללו הן למעשה רשתות מסועפות של אינטראקציות בין רכיבים שונים. 

או בתרגום למתמטית מדוברת: רשתות מסועפות - גרף, אינטראקציות - משוואות לא לינאריות. כשמשלבים אותם יחדיו בונים כלים מתמטיים להבין, לנבא, ואולי אף להשפיע, על ההתנהגות של המערכות המורכבות האלו.

"העקרון הלוקלי-גלובלי", הנקרא גם עקרון הסה, אחראי להתפתחויות רבות באריתמטיקה המודרנית. הרעיון פשוט: אם אפשר לפתור משוואה מעל השלמים, בוודאי אפשר לפתור אותה מודולו כל מספר ראשוני. אם כך, אם אפשר לפתור את המשוואה מודולו כל מספר ראשוני, אולי אפשר לפתור אותה גם בשלמים? נסקור כמה דוגמאות לעקרון הזה, שבהן המשוואה מוחלפת באובייקטים מתוחכמים יותר. 

כולם יודעים מהם מספרים ראשוניים. כולם גם יודעים שאוקלידס הוכיח שיש אינסוף כאלה. בהרצאה נדבר על כמה מהמשפטים החשובים והפחות מוכרים על פיזור המספרים הראשוניים, ואפילו נוכיח אותם (בערך).

זוהי הרצאה ראשונה בסדרת "חור בהשכלה", שמטרתה להשלים נושאים חשובים שאינם מכוסים בקורסי התואר הראשון. תלמידי שנים ב' וג' מוזמנים במיוחד, אבל ההרצאה פתוחה לכל.